因式分解技巧 十字相乘法公式

二次三项式，十字相乘，因式分解，
窍门就是，结合分组分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
中间的一次项 mx = (a+b)x ，
首先一分为二，拆开变成 ax + bx ，
接下来把四个项，分两组提公因式，做起来就轻松多了；
Q 关键是一次项怎样一分为二，就由常数项的正负来决定，
一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；

Q 如果常数项是正数，
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；
就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。
例如
x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )
= ( x + 5 )"
常数项都是 +25，一次项就都是分开 10=5+5，
x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )
= ( x - 5 )"

类似的常数项为正数
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
常数项都是 +24，一次项就都是分开 10=4+6，
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

Q 如果常数项是负数，
一次项系数就是分开两个项的相差数；
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
常数项都是 -24，一次项就都是分开 10=12-2，
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )

看到了吧，
一次项和常数项，绝对值都是 10x 和 24，
分解因式却有 4 种结果，会不会看得晕头转向呢？
怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。
x" ± 5x ± 6
x" ± 10x ± 24
x" ± 15x ± 54
x" ± 20x ± 96
x" ± 25x ± 150
都是这样有 4 种结果，
使用这个分解因式的方法，
你自己也试一试吧。

只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是 1 也同样方便，
例如
4x" - 31x - 45
对着 31，我们恐怕不知道怎样分开两项
可是看到 -45，我们都会想到 4X9=36，5X9=45，
那么
= 4x" - 36x + 5x - 45
= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
或者
= 4x" + 5x - 36x - 45
= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )

因式分解十字相乘法_

分解因式十字相乘法

因式分解法的十字相乘法方法

十字相乘法因式分解讲解如下：

十字分解法能用于二次三项式、一元二次式的分解因式，不一定是整数范围内。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1a2的积，把常数项c分解成两个因数c1c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

示例

（1)例1因式分解：x2-x-56；

分析：因为7x+(-8x)=-x；

解：原式=(x+7)(x-8)。

（2）例2因式分解：x2-10x+16；

分析：因为-2x+(-8x)=-10x；

解：原式=(x-2)(x-8)。

十字相乘法

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。

十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：提公因式法、公式法 、双十字相乘法、轮换对称法、拆添项法、配方法、因式定理法、换元法、综合除法、主元法、特殊值法、待定系数法、二次多项式。

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